吴子牛教授新书《运动的旋律与变化的世界》第二篇（柔情似水）读书笔记。
1. 柔情似水 凌波微步的小昆虫
- 表面张力：在水中，水分子的正负极与周围分子相互吸引，产生内聚力，使得水分子在一起形成液体。可是，在水表面与空气结合的地方，外面的空气分子不够消耗表面水分子的全部电极（空气分 子密度低于水），因此有多余的极性去吸引表面上的其它水分子。由多余的极性增强了表面分子间的内聚力。这种被增强的平行于水面的分子吸引力就是表面张力。形象地说，这相当于在水面上有了一层张力 或弹性的塑料膜。
- 纯水的表面张力太大，吹出来的泡泡很快破裂甚至吹不出来。用于吹泡泡的肥皂水表面张力只有纯水的\(1/3\)左右。肥皂泡泡一旦形成，可以持续几秒钟而不破裂。另外，肥皂有一层油脂，阻止液体蒸发。 如果在充满水蒸气的容器中生成肥皂泡泡，那么蒸发速度就极慢，极有可能让肥皂泡泡持续很长的时间而不破裂。关于肥皂泡的球星取向是因为，球的面积除以体积，在所有同体积的立体图形中是最小的。 表面张力也是一种能量，维持泡泡的形状也是一种代价。依据最小作用原理，应取表面积最小的球形。
- 水黾纤细如针的腿上长满了数以千计的锥头状纤毛（刚毛）。小刚毛上有些槽纹，可以吸附些空气，不容易让水打湿，因此带刚毛的腿有较好的超疏水性。疏水的小刚毛能把有表面张力的水面往下推开， 众多小刚毛作用下水面被压出漏斗型压痕。压痕体积也等价于产生浮力的的排水体积。实际上，水黾腿可产生的最大浮力远大于其体重，多余的力可用于弹跳或者应付其它特殊情况。例如，有风浪时， 如果一个水波过来，这种能够产生的多余力可以保证水黾随波浪一起一伏，可以抵消波纹起伏时加速带来的超重现象。
2. 风蚀地貌 圆与漩涡的生命力
- 将糖果放在水中任由水流冲刷，结果是无论糖果的初始形状如何，无论水流速度如何，最终会被冲刷溶解成一个特有的一致形状，这个形状出现后，将维持该形状，直到最终消失。这个特定的形状在水面 的上游一侧近似为球面，下游一侧则被漩涡削平。原来，这种漩涡流动易生成湍流，湍流通过脉动轻易地把高浓度的溶解糖分带走，把清水送过来继续溶解。因为糖更容易在含糖浓度低的水中溶解。 好像水特别喜欢吃糖，只有通过削平下游表面、激发拐弯涡和湍流，才能让附近的清水跳进漩涡舔食和溶解糖分。而直接被水流冲刷的面，容易被水流打磨成光顺带弧度的球面一样的形状。
- 河道弯曲：一旦河流某处有弯曲，就会在弯曲的地方产生离心力，形成横向回流，回流的冲刷使河道进一步变弯。当然，可能还有一些其它的原因。有的用地球自转线速度在不同纬度的差异带来的离心力 差异和水位高差异来解释。愈弯的河道最弯不过形成圆周形的河道，如果这种情况发生，那么一方面使河道截弯取直，另一方面将原有的局部圆环形河道（近似牛轭形状）阻断，形成牛轭湖。河道边上 常见的圆环形小湖（即河道边圆形小岛），就是这么出来的。
- 河道的蜿蜒度（Sinuosity）表征河道的弯曲程度，定义为河道长度与两端直线距离的比值。将河道弯曲看成某种演化过程（一种自组织过程），用数学上的所谓分形几何理论，证明蜿蜒度理论值应介于 2.7和3.5之间，平均值正好等于圆周率\(\pi\)。而圆周率是圆周长与其自身直径的比直（河道弯曲极限，牛轭湖），
- 奇特的常数：真空中光速\(c=299792459m/s\)，绝对零度为\(-273.15^oC\)，普朗克常数\(\hbar=6.62606957\times 10^{-34}J\cdotp s\)，这些常数的数值与单位的选取有关。而宇宙精细结构常数 \(\alpha=137.03599913\)，自然底数\(e=2.718\)，圆周率\(\pi=3.141592653589793\)没有单位。
- Stanford Univ. 教授Hale M的数学树
澡盆涡
- 洗脸池、马桶和浴缸等放水时，往往在出水管道上方出现一个快速旋转的涡旋（从上往下看，北半球逆时针，南半球顺时针），即澡盆涡。 任何容器中，如果底下有小孔放水，就可能出现澡盆涡。旋转的澡盆涡的涡心是低压区，容易将空气带进去， 可以听到吼吼的声响，这是空气柱与旋转的水发生摩擦产生的噪音。在以泄水孔为中心的圆周上，旋转线速度与该圆周长的乘积是旋转惯性的一种度量，因此没有理由改变这个惯性的大小。 由于半径越小周长越小，因此越靠近澡盆中心的漩涡，旋转线速度越快。此外，由于旋转产生的离心力需要通过往涡心方向的降压来平衡，因此越往内圈水压越低，从而水位降低。除了随澡盆涡一起旋转， 水还有流向涡心的运动，这种径向运动与旋转运动叠加起来，就是螺旋线运动。
- 也有用科氏力来解释澡盆涡，其认为地球自转是致因。科氏力是运动物体在旋转坐标系到观察者坐标系变换时导出的，是不太合逻辑的。因为澡盆涡的旋转是绝对的，与观察者是否运动无关。澡盆 涡出了旋转，旋转中心的水位更低了，吸进去的空气柱还有噪声。恐怕我们无法找到一个参照系，使你看起来没噪声了。因此澡盆涡的诱导因素似乎不能用科氏力来解释（虽然里面的一滴水的路径可以表示 为与科氏力有关）。
- 地球自转、残余漩涡以及几何不对称等都可能是澡盆涡的诱发因素，而维持澡盆涡中心高速旋转必还有其它机制（目前还无统一确定解释）。已有观察发现，旋转速度与水位高度有关（旋转速度先增加后减小， 甚至会出现反向），不会完全来自于外力。 作者认为，容器下部的水贴着底部流入泄水孔时，要拐90度的弯，这可能会引起拐弯涡。如果是这样，这个漩涡就像一个环，套在下水口的入口位置。这样会部分的堵塞流水，不符合速度最快的演化原理。如果 有旋转，即产生澡盆涡，那么就可以把这种拐弯涡转没，保证泄水速度最大化。
3. 轻抚水面生涟漪 强风破水摇巨浪
- 物体触水，激发的涟漪可能出现不同波长的波纹。各种波长的大小与落水物体的尺寸当然会有联系。物体越小，涟漪各波纹的波长越小；物体越大，涟漪中各波长越大。不同波长的波纹，受到的表面张力和 重力影响的程度显然不一样。于是，不同波长的波受到的力的大小不一样，移动速度当然会与波长有关。波速最小的波会留在内圈，仔细测量发现留在内圈的波长约为1.73厘米左右。这说明这一波长的波传播 速度最慢，其波速约为每秒23厘米。波长比1.73厘米小的波纹，以及波长比1.73厘米长的波纹，都比这个波长的波快，于是都跑到外圈了。波长小于1.73厘米时，波长越小的波纹传播速度越快。反过来， 如果波长都不1.73厘米大，那么波长越大的波纹，传播速度越快。对于比1.73厘米小的多的小水滴产生的涟漪，波长一般都比1.73厘米小，这样的波，波长越短的跑的越快，于是外圈的波长越小。 对于比1.73厘米大得多的水漂激起的涟漪，会有一些波长比1.73厘米大，因此越大的波长的波，越跑到最外圈。
-
对于小波长，表面张力唱主角；对于大波长，重力唱主角。于是，波长很小和很大时，表面张力和重力分别胜任作为驱动它们的的角色。
\(\quad\)1. 表面张力波的波速：波纹使水的表面弯曲了。一段波长的波两端被表面张力拉扯，波就振动了。表面张力会把波谷拉高波峰拉低，这种拉扯也使波中水滴获得了速度，被
拉平后，这种速度就成了惯性，驱动波纹向另外一个方向振荡。波长越大，水量越多，表面张力拉扯越费劲。于是由表面张力决定的水波，波长越大，传播速度越慢。也就是说，表面张力单独起作用时，
引起的涟漪波纹，传播速度随波长增加而单调下降。如果给定波形（波幅比波长是固定值），获得的速度与波长的平方根成反比。\(\quad\)2. 重力波的波速： 水面有波动时，重力将高水位的水滴往下拉，拉出惯性来，于是拉平后凭惯性进一步往下震荡。这一震，就震得比周围的水位还低了。周围显得更高一点的水位压出的高水 压，迫使低位的水又往上震荡。于是就来回震荡起来。由于是从落水点激发的震荡，因此多余的力量就驱使波浪向外传播。一段波包含的水量显然与波长成正比。由于重力正比于水量， 因此波长越大，用于改变形状（从而导致波纹传播）的重力就越大，作用就越强，波速就越大。于是，重力决定的波速随波长增大单调上升，即波长越大，波速越快。实际上，重力波的波速与波长的 平方根成正比。
\(\quad\)3. 表面张力和重力的综合作用：由能量守恒原理，即能量可以直接线性叠加得到总能量。表面张力和重力使水波中的水滴有了能量，两者相加就是总能量，因此能量叠加就是速度的平方叠加。 波长特别小时，表面张力波起主导作用；波长特别大时，重力波起主导作用。当波长不大不小时，表面张力玩不了大的波长；重力又瞧不起小一些的波长。最终结果是，好像都不怎么管，使波速较慢。 此时存在一个特定波长的波，其波速最小（即波长约为1.73厘米，波速为每秒23厘米）。
4. 奇妙无比的水面世界
- 水深与波浪：涟漪的波长与波幅，与水深相比，太小了。因此在水面戏水的涟漪，感觉不到水底的存在。如果浪的波长很大，或者相比于波长，水很浅，那么重力引起的压力波就能把 水面波动的信息传送到水底，水底反射压力波，反过来会影响水面的波动。水的深度如果超过波长的一半，那么这种水底效应就很弱，这样的水波称为深水波，表面张力和重力均起作用。 如果水深只有波长的\(1/20\)或以下，那就是浅水波，重力会决定水波的形态，完全不让表面张力起作用。水浅时，高度方向能形成的水压与长度方向的水量相比明显少多了，因此不容易驱动水波运动，因此 水越浅，波速越小。波速正比于\(\sqrt{gh}\)。水深介于二者之间（\(1/20\sim1/2\)波长），表面张力和重力同时起作用，此时情况就复杂了。
-
涌浪靠岸：涌浪从远海接近海岸时，水深愈浅，会慢慢变成浅水波。水深越来越浅，速度也越来越低，多余的能量就会推高水浪。于是越靠近岸边，浪显得越来越高，因此有时感觉在岸边突然冒出涌浪，因为 在深海区涌浪可能隐藏在水下。近岸波的浪高与波长相比，很快超过\(1/7\)波长（浪高如果高出波长的\(1/7\)，那么高出的部分就可能碎掉溅出白花），导致破碎。因此，近岸波很容易出现碎花。
\(\quad\)1. 海洋潮汐：由于地球自转离心力、太阳和月球的引力会引起水位变化，会产生重力波，导致海岸附近海水涨落，称为海洋潮汐。由于地球差不多转半圈，太阳和月亮引起的引力变化才完成一次交替， 因此海洋潮汐的波长最长可接近地球周长的一半。海洋潮汐的波长是海洋水波波长中最长的，往往比海水深度大许多倍，从而海洋潮汐是浅水波。因此，有潮汐时，我们看不到风浪那样的波纹， 因为波长太长了，只能看到海水涨落。
\(\quad\)2. 海啸：海床断裂、海底火山喷发、山崩、冰川脱落成冰山等在海洋诱发的重力波，可形成海啸。海啸向海岸边传播时，越靠近海岸，水越浅，传播速度越小，因此后面波能追上前面的， 形成水位差（即浪头）。这种海啸带来的水位差，会漫过海滩，淹没沿岸，带来巨大的破坏。若是地震引起的海啸，因地震波传播速度远大于海啸波速，因此会先探测到地震波，据此可对海啸进行预警。
- 船在乘风破浪航行时，会把前面的水位推高。这种被推高的船头波会下蛋似的，吐出一道道较短的小波浪。小波浪从船的两侧，排成V字型，如同候鸟迁徙一样。开尔文发现，这个V字型波的半顶角都是19.47度， 不管船速如何。2013年，法国科学家Marc Rabaud和Frédéric Moisy给出了这样的结论：对于一艘给定长度的船（或长方形物体），如果船速小于船引起的重力波的波速，那么V字型波的半顶角就是开尔文角， 不管船速如何都是这个角。如果船速高于该波速，那么V字型波的半顶角就是马赫角，即与船速成反比。于是开尔文角（19.47度）就是半顶角的最大值。