第一篇相对专业的博客，内容是Stokes流动的边界积分方法，主要参考C Pozrikidis92和02年的两本书。 此外这也是第一次在Markdown中写数学公式，主要参考Math on GitHub Pages。
(定常)Stokes流动
定常Stokes流动由Stokes方程
\[\begin{equation} \nabla\cdotp\sigma=0, \label{Stokes_eq} \end{equation}\]其中Cauchy应力张量 (stress tensor) \(\sigma=2\mu\mathbf{d}-p^{mod}\mathbf{I}\)，修正压力 (modified pressure) \(p^{mod}=p-\rho\mathbf{g}\cdotp\mathbf{x}\)， \(\mathbf{d}=\frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u}+(\nabla\mathbf{u})^T\right)\)是变形率张量 (rate of deformation tensor)，\(\mathbf{g}\)为重力加速度；以及 不可压方程
\[\begin{equation} \nabla\cdotp\mathbf{u}=0 \label{Continue_eq} \end{equation}\]控制。它描述雷诺数极小和随时间变化极缓慢(流动特征时间极大)的流动(creeping flow)，可直接由NS方程简化而来。
Lorentz Reciprocal Relation
假设\(\mathbf{u}\)和\(\mathbf{u}^{'}\)是满足Stokes方程的两个解，\(\mathbf{\sigma}\)和\(\mathbf{\sigma}^{'}\)是对应的应力张量，对\(\mathbf{u}^{'}\cdotp\nabla\cdotp\mathbf{\sigma}\)分部积分可得
\[u^{'}_i\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j}-u_i\frac{\partial\sigma^{'}_{ij}}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\left(u^{'}_i\sigma_{ij}-u_i\sigma^{'}_{ij}\right).\]若\(\mathbf{u}\)和\(\mathbf{u}^{'}\)都是正则的(即不含奇异点)，上式左边为零，即得reciprocal等式
\[\nabla\cdotp\left(\mathbf{u}^{'}\cdotp\mathbf{\sigma}-\mathbf{u}\cdotp\mathbf{\sigma}^{'}\right)=0.\]将上式对流体域\(V\)积分，应用高斯散度定理可得
\[\int_{\partial V}\mathbf{u}^{'}\cdotp\mathbf{f}dS=\int_{\partial V}\mathbf{u}\cdotp\mathbf{f}^{'}dS,\]其中\(\mathbf{f}=\mathbf{\sigma}\cdotp\mathbf{n}\)是边界作用于流体\(V\)的力，\(\mathbf{n}\)是指向外部的法向量。 Reciprocal等式可用于由已知流动(如Dirac点源作用下的Stokes基本解)求解复杂的未知流动。